Korban Pesach nowadays - Halachic issues Part II

Part 1 is here

What Korbanos can we bring?

Nowadays we are all טמא so any קרבנות that we would being we would have to bring בטומאה. What קרבנות can be brought בטומאה and under what conditions?
The Mishna in Temura(14a) states:

יש בקרבנות הציבור מה שאין בקרבנות יחיד שקרבנות הציבור דוחין את השבת ואת הטומאה וקרבנות יחיד אינן דוחות לא את השבת ולא את הטומאה א"ר מאיר והלא חביתי כ"ג ופר של יוה"כ קרבנות היחיד הן ודוחין את השבת ואת הטומאה אלא שזמנו קבוע

The Mishna initially is מחלק between קרבנות הציבור and קרבנות היחיד with respect to what קרבנות can be bought בטומאה. R' Meir however, brings a number of examples that don't fit in (קרבנות יחיד that are דוחה טומאה and קרבנות הציבור that are not דוחה טומאה) and therefore states that the rule is that any קרבן that is זמנו קבוע, meaning, it must be brought at a specific time, is דוחה טומאה and any קרבן that is not זמנו קבוע is not דוחה טומאה. The Rambam in the פירוש המשניות writes that this is the real reason and no one argues on it.

Korban Pesach, while it is a קרבן יחיד is זמנו קבוע and therefore would also be דוחה טומאה.

There is a machlokes tannaim (Yoma 6b, Pesachim 77a) whether טומאה הותרה בציבור or טומאה דחויה בציבור. The Gemara in Yoma has a number of נ"מ one of them being the following. The ציץ is מרצה on korbanos brought בטומאה. The gemara says that if טומאה הותרה בציבור then the ציץ doesn't need to be מרצה on קרבנות הציבור but if טומאה דחויה בציבור then you need the ציץ to be מרצה on קרבנות ציבור as the korban is פסול because it is טמא. The Rambam and most Rishonim and Acharonim pasken that טומאה דחויה בציבור and therefore to bring any korbanos we need the ציץ to be מרצה. To do that you need a Kohen Gadol to wear the ציץ.

In addition Tosafos in Yoma 6b say that we don't completely reject the distinction between קרבנות ציבור and קרבנות יחיד. They say that the only time that there is a machlokes whether טומאה הותרה בציבור or טומאה דחויה is by קרבנות ציבור but by קרבנות יחיד everyone would agree that טומאה דחויה בציבור. What this means is that according to everyone to bring a קרבן פסח would be based on טומאה דחויה בציבור and would therefore require the ציץ.
וז"ל התוספות
כיון דהתם לענין פסח איירי איכא למימר נהי דפסח כיון דאתי בכינופיא חשיב כקרבן ציבור ודוחה את השבת ואת הטומאה מ"מ כיון דלאו כל ישראל מייתו חד פסח בשותפות מהדרינן אטהורין אפילו למ"ד טומאה היתר היא בקרבן ציבור גמור הבא בשותפות וכן משמע לקמן בסמוך (דף ז.) דאילו של אהרן אע"ג דזימנא קביעא ליה ודחי את השבת ואת הטומאה כקרבן ציבור מכל מקום כיון דקרבן יחיד הוא מהדרינן אטהורין לכולי עלמא

Who appoints the Kohen Gadol?

The Rambam (Klei Hamikdash 4:15) writes that the Sanhedrin appoints the Kohen Gadol וז"ל:
אין מעמידין כ"ג אלא ב"ד של אחד ושבעים
If so, we have no Sanhedrin nowadays so we can't appoint a Kohen Gadol. However, Tosafos in Yoma 12b argue and write that the King and the other Kohanim appoint the Kohen Gadol וז"ל:
וי"ל דכהן גדול מתמנה בפה ומסתלק בפה ובירושלמי דריש ליה מקרא ומסתברא שהדבר תלוי במלך ובאחיו הכהנים
Note: מלך here doesn't necessarily mean literally a King as there were Kohanim Gedolim before there was a King (e.g. עלי הכהן). Therefore either the King is not mandatory or the King means the leaders of the Jewish people. In either case it would be theoretically possible to appoint a kohen gadol nowadays.

The bottom line is that to bring a קרבן פסח today we need a כהן גדול.

חינוך המזבח

The Mishna in Menachos (49b) has a halacha that before you can use the מזבח you need to be מחנך it. How are you מחנך it? The Mishna says by bringing the קרבן תמיד של שחר.

What comes out from the Mishna is that we can't just bring a קרבן פסח, first we have to bring the קרבן תמיד to be מחנך the מזבח.

However, there is a problem to bring the קרבן תמיד to be מחנך the מזבח. Both the בנין ציון and the נצי"ב claim that we can't bring most korbanos today based on the following. In the תוכחה it says והשימותי את מקדשיכם ולא אריח בריח ניחוחם. They ask, if the Beis Hamikdash is destroyed so what korbanos are we bringing that Hashem won't be מריח בריח ניחוחם? It must be they say that even though technically speaking מקריבים אע"פ שאין בית, we can't bring any korban that is supposed to be לריח ניחוח which is every korban except קרבן פסח. What this means is that according to them we can't bring the קרבן תמיד to be מחנך the מזבח because it needs to be לריח ניחוח and therefore we can't bring the קרבן פסח either.
There are 3 answers for this:
1. Both the Aruch Hashulchan and the Brisker Rav hold that חינוך המזבח is not מעכב
2. We don't hold like the the בנין ציון and the נצי"ב. This idea that they came up with is not found in the Gemara or Rishonim. In fact, the Rambam writes that מקריבים אע"פ שאין בית and therefore you can bring all korbanos.
3. Maybe the קרבן פסח can be מחנך the מזבח. The whole idea of חינוך המזבח is that you have to start the Seder Hakorbanos from the beginning. The seder hakorbanos starts with the קרבן תמיד של שחר and ends with the קרבן תמיד של בין הערבים. the one exception is קרבן פסח which comes after the קרבן תמיד של בין הערבים. In other words the קרבן פסח is not in the normal seder hakorbanos and can be thought of as it's own seder. if so, maybe it can be מחנך the מזבח as it is the first (and only) קרבן of it's seder.

Part 3 is here